傻傻的萌貓妹(´・ω・`)喵ㄅ~

一、中位數(Median)

（一）定義：中位數是指將數據按大小順序排列形成一個數列，居於數列中間位置的數據稱之。以Me表示。

（二）求算

實數按大小順序（順序，降序皆可）排列為、

實數數列的中位數  為

odd number 為奇數，even number 為偶數。

1. 若資料個數是偶數，取最中間的兩個數之平均。

2. 若資料個數是奇數，取最中間的數。

（三）特性：

1. 中位數是一種集中趨勢或位置量數。

2. 從中位數的定義可知，數據中有一半小於中位數，一半大於中位數。

3. 在一個等差數列或一個正態分佈數列中，中位數等於算術平均數。

4.  中位數敏感性低，不受分佈數列的極大或極小值影響。

5.  當其數據分佈具偏態時，中位數的代表性會受到影響。

6.所有數值與中位數差的絕對值總和最小。

 

一、常態分布（英語：normal distribution）又名高斯分布（英語：Gaussian distribution）

（一）定義：是一個非常常見的連續機率分布。常態分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變量。^[1][2]

（二）若隨機變量服從一個位置參數為、尺度參數為的常態分布，記為：

^[3]

則其機率密度函數為

常態分布的期望值等於位置參數，決定了分布的位置；其變異數的開平方或標準差等於尺度參數，決定了分布的幅度。

常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（類似於寺廟裡的大鐘，因此得名）。

我們通常所說的標準常態分布是位置參數，尺度參數的常態分布（見右圖中紅色曲線）。

有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。

最直觀的方法是機率密度函數，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。

累積分布函數是一種機率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。

這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於機率分布的討論。

常態分布的機率密度函數均值為 變異數為 (或標準差)是高斯函數的一個實例：

。

(請看指數函數以及.)

如果一個隨機變量服從這個分布，我們寫作  ~ . 如果並且，這個分布被稱為標準常態分布，這個分布能夠簡化為

。

右邊是給出了不同參數的常態分布的函數圖。

常態分布中一些值得注意的量：

• 密度函數關於平均值對稱
• 平均值與它的眾數（statistical mode）以及中位數（median）同一數值。
• 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差範圍內。
• 95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差的範圍內。
• 99.730020%的面積在平均數左右三個標準差的範圍內。
• 99.993666%的面積在平均數左右四個標準差的範圍內。
• 函數曲線的反曲點（inflection point）為離平均數一個標準差距離的位置。  ㄧ

特性：

常態分布的一些性質：

1. 如果且與是實數，那麼 (參見期望值和變異數).
2. 如果與是統計獨立的常態隨機變量，那麼：
   • 它們的和也滿足常態分布 (proof).
   • 它們的差也滿足常態分布.
   • 與兩者是相互獨立的。（要求X與Y的變異數相等）
3. 如果和是獨立常態隨機變量，那麼：
   • 它們的積服從機率密度函數為的分布

     其中是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）

   • 它們的比符合柯西分布，滿足.
4. 如果為獨立標準常態隨機變量，那麼服從自由度為n的卡方分布。

 

 

在機率論和統計學中，指數分布（英語：Exponential distribution）是一種連續機率分布。指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。

 

一個指數分布的機率密度函數是：

其中λ > 0是分布的一個參數，常被稱為率參數（rate parameter）。即每單位時間發生該事件的次數。指數分布的區間是[0,∞)。 如果一個隨機變量X 呈指數分布，則可以寫作：X ~ Exponential（λ）。

 

累積分布函數可以寫成：

 

隨機變量X (X 的率參數是λ) 的期望值是：

比方說：如果你平均每個小時接到2次電話，那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

X 的方差是：

X 的偏離係數是： V[X] = 1

 

指數函數的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數分布，它的條件機率遵循：

 

泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中，第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。而根據泊松過程的定義，長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於

,

長度為t的時間段內隨機事件發生一次的機率等於 , 所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)隨機事件出現的機率等於。這是指數分布。這還表明了泊松過程的無記憶性。