傻傻的萌貓妹(´・ω・`)喵ㄅ~

一、矩，又稱動差，英文為moment。

（一）概念：矩的概念來自於物理學。在物理學中，矩是用來表示物體形狀的物理量。矩是用於物體形狀識別的重要參數指標。

（二）定義：

1. 在實數域上的實函數相對於值c的n階矩為:

。

如果f(x)是機率密度函數，則容易看出相對於值0的1階矩是連續隨機變量的數學期望。(。)

2. 總的來說，在數學中，矩的概念是用來度量一組具有「一定形態特點的點陣」。

舉例:一個「二階矩」，我們在一維上可以測量它的「寬 度」；而在更高階的維度上，由於其適用於「橢球」的空間分布，我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他的矩用來描述諸如與均值的歪斜分布情況（偏態），或峰值的分布情況（峰態）等其他方面的分布特點。

二、中心矩(Central Moment)：

（一）定義：中心矩(Central Moment)是關於某一個隨機變量平均值構成隨機變量的機率分佈的矩.

對於一維隨機變量，其階中心矩為相對於之期望值的階矩：

（二）前幾階中心矩具有較直觀的意義。

• 第0階中心矩恆為1。
• 第1階中心矩恆為0。期望：
• 第2階中心矩為的方差。方差：
• 第3階中心矩用於定義的偏度。偏度：
• 第4階中心矩用於定義的峰度。峰度

 

三、累積量

一個隨機變量的累積量是指一系列能夠提供和矩一樣的信息的量。累積量和隨機變量的矩密切相關。如果兩個隨機變量的各階矩都一樣，那麼它們的累積量也都一樣，反之亦然。

對於隨機變量而言，一階累積量等於期望值，二階累積量等於方差，三階累積量等於三階中心矩，但是四階以及更高階的累積量與同階的中心矩並不相等。在某些理論推導中，使用累積量更加方便。特別是當兩個或者更多的隨機變量相互獨立時，它們的 階累積量的和等於它們和的階累積量。另外，服從常態分布的隨機變量的三階及以上的累積量為。

四、偏態/偏度(Skewness)

（一）定義：偏態或偏度為衡量實數隨機變量機率分布的不對稱性。

（二）分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

 

（三）公式：

隨機變量X的偏度γ₁為三階標準矩，可被定義為：

其中μ₃是三階中心矩，σ是標準差。E是期望值。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。

（四）皮爾森偏態係數

1. 定義:
量測一組資料對稱與否的指標稱為偏態係數。
2. 公式
         

3. 如圖形是對稱，則偏態係數SK=0。 　　　　　

4. 如圖形是右偏(正偏)，表示有少數幾筆資料很大，故平均數>中位數，所以偏態係數SK>0。 　　　　　

5. 如圖形是左偏(負偏)，表示有少數幾筆資料很小，故平均數<中位數，所以偏態係數SK<0。　 　

6. 實例:
          收集11位同學罰球投籃10次，投中次數分別為：
　　　　　　　　　3 2 3 7 4 3 6 4 3 3 6 
         求其偏態係數?   解答：偏態係數為1.86，圖形為右偏。

五、峰度（Kurtosis）

（一）定義：峰度為衡量實數隨機變量機率分布的峰態。
（二）公式：

1. 四階標準矩可以定義為：

其中μ₄是四階中心矩，σ是標準差。

2. 在更通常的情況下，峰度被定義為四階累積量除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以機率分布方差的平方再減去3：

這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓正態分布的峰度為0。

(三)峰態係數 (Kurtosis)
1. 定義:量測資料分佈形狀峰度有多高的指標稱為峰態係數。
2. 公式；
          峰態偏數：
                    

　　　　　　　　　　其中s是標準差，而n是樣本。

3. 如下圖：

(1)峰態係數K>0稱為高峽峰，

(2)峰態係數K=0稱為常態峰， 　　　　　　　　　

(3)峰態係數K<0稱為低闊峰。 　　　　　　　　　

以上資料取自

1. 維基百科

2. http://estat.ncku.edu.tw/topic/desc_stat/base/Skewness.html

3. http://estat.ncku.edu.tw/topic/desc_stat/base/Kurtosis.html